Question

已知函数f（x）=x（1-x²），x∈R．
（1）当x＞0时，求f（x）的最大值；
（2）当x＞0时，指出f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）试作出函数f（x）（x∈R）的简图．

Answer

（1）可以利用导数求最大值，也可利用均值不等式进行求解，将f（x）=x（1-x2）变形得y2=x2（1-x2）2=•2x2（1-x2）（1-x2），利用和定积最大，求出最值，注意等号成立条件．
（2）“f（x）的单调性，并用定义证明”，即设x2＞x1＞0，比较f（x2）-f（x1）与0的大小．
（3）函数f（x）（x∈R）的简图中必须注明特殊的点：（-1，0）、（0，0）、（1，0），有对称性．
【解析】
（1）∵x＞0，欲求f（x）的最大值，必有1-x2＞0，
y2=x2（1-x2）2=•2x2（1-x2）（1-x2）≤•[]3=，
∴y≤=．
当且仅当2x2=1-x2，即x=时，取“=”，即f（x）max=f（）=．

（2）由（1）知，
当x∈（0，]时，f（x）单调递增，x∈[，+∞）时，f（x）单调递减．
设x2＞x1＞0，则
f（x2）-f（x1）=-x23+x2-（-x13+x1）
=（x2-x1）-（x2-x1）（x22+x1x2+x12）
=（x2-x1）[1-（x22+x1x2+x12）]．
当0＜x1＜x2≤时，x2-x1＞0，1-（x22+x1x2+x12）＞0．
∴f（x2）＞f（x1）．
∴f（x）在（0，]上递增．
当≤x1＜x2时，x2-x1＞0，1-（x22+x1x2+x12）＜0，
∴f（x2）＜f（x1）．
∴f（x）在[，+∞）上递减．
（3）注：图象过点（-1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称．