Question

已知函数f（x）的定义域为R，且对于一切实数x满足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）
（1）若f（5）=9，求：f（-5）；
（2）已知x∈[2，7]时，f（x）=（x-2）²，求当x∈[16，20]时，函数g（x）=2x-f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=0的一根是0，记f（x）=0在区间[-1000，1000]上的根数为N，求N的最小值．

Answer

（1）将f（x+2）=f（2-x）中的x用x-2代替得到f（x）=f（4-x），再将f（x+7）=f（7-x）中的x用3+x代替得到f（10+x）=f（4-x）；求出函数的周期；利用周期求出f（-5）
（2）由于x∈[16，17]，x-10∈[6，7]，求出f（x-10）的值；利用函数的周期性求出f（x）；同样的方法求出其它各范围内的解析式；求出g（x）的解析式；求出g（x）各段的最值，比较各段最值求出g（x）的最值．
（3）据对称性求出在一个周期上的根的个数；求出区间含周期的个数，求出区间内根的个数．
解（1）由f（x+2）=f（2-x）及f（x+7）=f（7-x）得：f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称．
∴f（x）=f[（x-2）+2]
=f[2-（x-2）]=f（4-x）
=f[7-（3+x）]=f（7+（3+x））
=f（x+10）
∴f（x）是以10为周期的周期函数．
∴f（-5）=f（-5+10）=f（5）=9
（2）当x∈[16，17]，x-10∈[6，7]
∴f（x）=f（x-10）=（x-10-2）2=（x-12）2
当x∈（17，20]，x-20∈（-3，0]，4-（x-20）∈[4，7）
∴f（x）=f（x-20）=f[4-（x-20）]
=f（24-x）=（x-22）2
∴g（x）=
∵x∈[16，17]时，g（x）最大值为16，最小值为9；x∈（17，20]，g（x）＞g（17）=9，g（x）≤g（20）=36
∴g（x）的最大值为36，最小值为9．
（3）由f（0）=0，及f（0）=f（4）=0，知f（0）在[0，10）上至少有两个解．
而在[-1000，1000）上有200个周期，至少有400个解．又f（1000）=0
所以最少有401个解．且这401个解的和为-200．