Question

设函数f（x）=sinxcosx+cos²x+a
（I）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（II）当x∈时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，解不等式f（x）＞1．

Answer

由正余弦的倍角公式及正弦的和角公式把函数转化为y=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（I）由y=Asin（ωx+φ）+B的性质易于解决；
（II）当x∈时，先表示出f（x）的最值，再解得a，最后结合正弦函数的图象解得答案．
【解析】
f（x）=sinxcosx+cos2x+a
=
=sin（2x+）+a+
（I）所以T=．
由，得．
所以f（x）的单调递减区间是[]（k∈Z）．
（II）因为，所以，
所以．
当x时，f（x）max+f（x）min=（1+a+）+（-+a+）=，
解得a=0，所以f（x）=sin（2x+）+．
由f（x）＞1得，
所以
解得．