Question

已知定义在R上的函数f（x）满足为常数
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）如果f（x）为偶函数，求a的值；
（3）当f（x）为偶函数时，若方程f（x）=m有两个实数根x₁，x₂；其中x₁＜0，0＜x₂＜1；求实数m的范围．

Answer

（1）利用换元法令t= 则x=代入可求f（t），以“x“代换“x“可求．
（2）由f（x）为偶函数利用定义f（-x）=f（x）代入整理可求．
（3）由（2）可得f（x）为偶函数可得a=1，代入可得f（x）=2x+2-x，结合函数f（n）=n+，n＞0的图象，可得方程f（x）=m有两个实数根x1，x2，其中x1＜0，0＜x2＜1⇔f（n）=m有两个实数根n1，n2其中0＜n1＜1，1＜n2＜2，结合函数的图象可得
【解析】
（1）∵为常数
令t= 则x=
∴f（t）==2-t+a•2t
从而有f（x）=2-x+a•2x；

（2）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴2x+a•2-x=2-x+a•2x
整理可得，（a-1）•2x=（a-1）•2-x
∴a=1

（3）由（2）可得f（x）为偶函数，a=1，f（x）=2x+2-x
令n=2x，n＞0，f（n）=n+，n＞0的图象如图，
结合图象可得方程f（x）=m有两个实数根x1，x2，
其中x1＜0，0＜x2＜1⇔f（n）=m有两个实数根n1，n2其中0＜n1＜1，1＜n2＜2
而函数f（n）=n+在（0，1）上单调递减，在（1，2）单调递增
结合图象可得，函数有两个交点