Question

已知函数f（x）=ax²+4x-2，若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有．
（1）求实数a的取值范围；
（2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

Answer

（1）先将用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得：，由此式即可求得实数a的取值范围；
（2）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．
【解析】
（1）∵
=
=，
∵x1≠x2，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵，
显然f（0）=-2，对称轴．
①当，即0＜a＜2时，，且f[M（a）]=-4．
令ax2+4x-2=-4，解得，
此时M（a）取较大的根，即，
∵0＜a＜2，∴．
②当，即a≥2时，，且f[M（a）]=4．
令ax2+4x-2=4，解得，
此时M（a）取较小的根，即，
∵a≥2，∴．当且仅当a=2时，取等号．
∵-3＜-1∴当a=2时，M（a）取得最小值-3．