Question

函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式．
（2）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer

（1）由题设条件，点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．求解函数y=g（x）的解析式可用代入法．
（2）由x∈[a+2，a+3]，及两对数函数有意义可以得到0＜a＜1，由此可以得到对数函数是减函数，由单调性将恒等式转化为一元二次不等式，构造函数h（x）=（x-2a）2-a2，求出h（x）在定义域[a+2，a+3]上的最大值与最小值，再一次将问题转化为，即得参数a的不等式组，解之求得参数的范围．
【解析】
（1）设P（x，y）是y=f（x）图象上点，令Q（x，y），则，
∴∴-y=loga（x+2a-3a），∴y=loga（x＞a）
（2）由对数函数的定义得
∴x＞3a
∵f（x）与g（x）在[a+2，a+3]上有意义．
∴3a＜a+2
∴0＜a＜1（6分）
∵|f（x）-g（x）|≤1恒成立⇒|loga（x-3a）（x-a）|≤1恒成立．
对x∈[a+2，a+3]上恒成立，令h（x）=（x-2a）2-a2
其对称轴x=2a，2a＜2，2＜a+2
∴当x∈[a+2，a+3]
hmin（x）=h（a+2），hmax=h（a+3）
∴原问题等价