对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如...

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数
f（x）=ax²+bx+1（a＞0）有两个相异的不动点x₁，x₂．
（1）若x₁＜1＜x₂，且f（x）的图象关于直线x=m对称，求证： manfen5.com 满分网

＜m＜1；
（2）若|x₁|＜2且|x₁-x₂|=2，求b的取值范围．

（1）求出g（x）=f（x）-x的解析式，因为x1＜1＜x2＜2且a＞0得到x1x2＜（x1+x2）-1，由函数图象关于直线x=m对称得到m的范围，又因为x1x2＞x1得到m的范围，求出公共解集即可；（2）根据根于系数的关系得到x1，x2同号，分两个区间讨论绝对值的取值得到g（2）＜0或g（-2）＜0得出b的取值范围即可．（1）证明：g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1且a＞0∵x1＜1＜x2＜2 ∴（x1-1）（x2-1）＜0即x1x2＜（x1+x2）-1 于是＞[（x1+x2）-1]= 又∵x1＜1＜x2＜2∴x1x2＞x1于是有m=（x1+x2）-x1x2＜（x1+x2）-x1=x2＜1∴＜m＜1 （2）【解析】由方程＞0，∴x1x2同号（ⅰ）若0＜x1＜2则x2-x1=2 ∴x2=x1+2＞2∴g（2）＜0 即4a+2b-1＜0① 又（x2-x1）2= ∴，（∵a＞0）代入①式得＜3-2b，解之得：b＜（ⅱ）若-2＜x1＜0，则x2=-2+x1＜-2∴g（-2）＜0，即4a-2b+3＜0② 又代入②得＜2b-1解之得b＞综上可知b的取值范围为

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考点分析：

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已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（ manfen5.com 满分网

）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（ manfen5.com 满分网

）
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）对数列x₁= manfen5.com 满分网

，x_n+1=

，求f（x_n）；
（3）求证 manfen5.com 满分网

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某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2005年进行一系列的促销活动．经市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：3-x与t+1成反比例．如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．又2005年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元．当将化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等．
（1）试用促销费用t表示年销售量x．
（2）将2005年的利润y万元表示为促销费t万元的函数．
（3）该企业2005年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

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函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式．
（2）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

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已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围P；
（2）设 manfen5.com 满分网

，当x∈P时，求函数h（x）的值域．

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已知函数

（a＞1），求证：
（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等