Question

有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？

Answer

根据题设建立数学模型，借助图象寻找个条件间的联系，适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可确定C点的位置．
【解析】
据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，
设C点距D点xkm，如图所示，则BD=40，AC=50-x，
∴BC=又设总的水管费用为y元，
由题意得y=3a（50-x）+（0＜x＜50），
y′=-3a+令y′=0解得x=30．
在（0，50）上，y只有一个极值点，
根据实际意义，函数在x=30（km）处取得最小值，
此时AC=50-x=20（km），
答：供水站C建立在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．