Question

甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为
（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．

Answer

（Ⅰ）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，分别做出甲至多命中2个球的概率和乙至少命中两个球的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（II）乙所得分数为η，η可能的取值-4，0，4，8，12，当变量是-4时，表示一个球也没进，当变量是0时，表示只进一个球，当变量是4时，表示进了2个球，当变量是8时，表示进了3个球，当变量是12时，表示进了4个球，结合变量对应的事件和独立重复试验写出分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，
设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得：

∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为：

（Ⅱ）乙所得分数为η
η可能的取值-4，0，4，8，12，
P（η=-4）==，
P（η=0）==
P（η=4）=C42=
P（η=8）==
P（η=-4）==
分布列如下：

∴Eη=．