Question

已知tanα，tanβ是一元二次方程2mx²+（4m-2）x+2m-3=0的两个不等实根，求函数f（m）=5m²+3mtan（α+β）+4的值域．

Answer

因为tanα，tanβ是一元二次方程2mx2+（4m-2）x+2m-3=0的两个不等实根，所以利用韦达定理表示出两根之和和两根之积，然后利用两角和的正切函数公式化简tan（α+β），把表示出的tanα+tanβ和tanαtanβ代入即可得到关于m的关系式，把关于m的关系式代入f（m）中，得到f（m）关于m的二次函数，然后再根据一元二次方程有两个不相等的实根，所以得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围，根据自变量m的范围即可求出f（m）的值域．
【解析】
由已知，有，，
∴．
又由△＞0，知，
∴．
∵当时f（m）在两个区间上都为单调递增，
故所求值域为．