Question

已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若，求sin（α+β+γ）的值．

Answer

（1）根据题意sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，代入，（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ）2=1，求得2+2cos（α-β）=1，进而求得cos（α-β）的值．
（2）根据（1）可求得cos（β-γ）的值，和cos（α-γ）的值，设，进而可知α-γ，α-β，β-γ的值假设γ＞0，则可知不符合题意，进而推断γ=0则α，β可求，进而求得sin（α+β+γ）．
【解析】
（1）sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，
（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ）2=1，2+2cos（α-β）=1，
∴．

（2）由（1）同理得，
∵，由对称性，不防设，
则，，，
又由（1）知，，，若γ＞0，则矛盾！
∴γ=0，有，，
∴sin（α+β+γ）=sin2π=0．