Question

已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC²=AB•AD．

Answer

首先用两个角对应相等证明两个三角形相似，在相似三角形中写出对应边成比例，又根据直角三角形的射影定理，得到比例式，结合两个比例式，得到要证明的结论．
证明：在△ABM与△AND中，
∠BAM=∠NAD=90°
∠AMB=∠ADN=90-∠MND，
∴△ABM∽△AND，
AB：AN=AM：AD，
AN•AM=AB•AD①
又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，
∴AC2=AM•AN②
由①，②得AC2=AB•AD．