Question

将函数f（x）=e^x展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）

Answer

利用基本初等函数的导数个数求出f（x）的各阶导数相同，利用幂级数的定义找到它的收敛区间．
【解析】
∵f（x）=ex，
∴f′（x）=f″（x）=fn（x）=ex
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fn（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|ex|≤er（n=1，2）
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数ex在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是．