Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）先设x＜0，得-x＞0，再利用七函数的定义f（x）=-f（-x）求出x＜0时对应的解析式，再与已知相结合即可求整个函数的解析式；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）知当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x2-kx3，求出其导函数以及导函数为0的根，利用导函数值的正负和原函数的关系即可判断出函数的性；
（Ⅲ）先把代入求出g（x）=-（x-1）2+1，再利用二次函数在闭区间上的最值问题的求法与条件相结合得x=1时g（x）取得最大值1，最后利用最小值即可求出a的值．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3
∴当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（x2+kx3）
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x2-kx3
当k=0时，f'（x）=-2x，在区间（-∞，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．
当k≠0∴
∴在区间是减函数；
在区间（-，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．
（Ⅲ）∵，当
∴g（x）=f'（x）=2x-x2=-（x-1）2+1，
又∵a＞1．
∴上，当x=1时g（x）取得最大值1
当
当，
由（舍）或a=1（舍）
∴存在满足题意的实数．