Question

如图，△ABC是圆O的内接三角形，AC=BC，D为圆O中上一点，延长DA至点E，使得CE=CD．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．

Answer

（1）根据在△ABC、△ECD中∠ACE=∠BCD、CE=CD、AC=BC，可得到△ACE≌△BCD，再根据对应边相等得到AE=BD，得证．
（2）当AC⊥BC时，在△ECD中有∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°，进而可得到DE=CD，再结合AD+BD=AD+EA=ED可知AD+BD=CD，从而得证．
证明：（1）在△ABC中，AC=BC∴∠CAB=∠CBA．
在△ECD中，CE=CD∴∠CED=∠CDE．
∵∠CBA=∠CDE，∴∠ACB=∠ECD．
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD．
∴∠ACE=∠BCD．
又CE=CD，AC=BC，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD．
（2）若AC⊥BC，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°．
∴DE=CD．
又∵AD+BD=AD+EA=ED，
∴AD+BD=CD．