Question

如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的长．

Answer

设CB=AD=x，由圆的割线定理列出关于x的方程，求出x的值即得到CD和CE的值，又因为AC为小圆的直径，则所对的圆周角∠CBA等于90°即∠ABE等于90°，然后根据圆内接四边形的对角互补得到∠D也等于90°，所以在直角三角形CDE中，利用勾股定理即可求出DE的长．
【解析】
设CB=AD=x，则由割线定理，得CA•CD=CB•CE，
即4（4+x）=x（x+10），化简得x2+6x-16=0，解得x=2或x=-8（舍去），即CD=6，CE=12，
因为CA为直径，所以∠CBA=90°，即∠ABE=90°，
则由圆的内接四边形对角互补，得∠D=90°，
则CD2+DE2=CE2，
∴62+DE2=122，
∴DE=6．