Question

若y=cos²x+2psinx+q有最大值9和最小值6，求实数p，q的值．

Answer

先令sinx=t将y=cos2x+2psinx+q转化为关于t且t∈[-1，1]的一元二次函数，然后求出其对称轴，再对p的值进行讨论从而可确定函数在[-1，1]上的单调性，进而根据其最值可求出p，q的值．
【解析】
令sinx=t，t∈[-1，1]，
y=1-sin2x+2psinx+q
y=-（sinx-p）2+p2+q+1=-（t-p）2+p2+q+1
∴y=-（t-p）2+p2+q+1，对称轴为t=p
当p＜-1时，[-1，1]是函数y的递减区间，
ymax=y|t=-1=-2p+q=9，ymin=y|t=1=2p+q=6，
得，与p＜-1矛盾；
当p＞1时，[-1，1]是函数y的递增区间，
ymax=y|t=1=2p+q=9，ymin=y|t=-1=-2p+q=6，
得，与p＞1矛盾；
当-1≤p≤1时，ymax=y|t=p=p2+q+1=9，
再当p≥0，ymin=y|t=-1=-2p+q=6，得；
当p＜0，ymin=y|t=1=2p+q=6，得
∴．