Question

已知a₁，a₂，a₃，…，a₈为各项都大于零的数列，则“a₁+a₈＜a₄+a₅”是“a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比数列”的（ ）
A．充分且必要条件
B．充分但非必要条件
C．必要但非充分条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

先假设八个整数成等比数列且q≠1，利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）-（a4+a5），分别对q＞1和q＜1分类讨论，可推断出a1+a8＞a4+a5一定成立，反之若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，综合答案可得．
【解析】
若八个正数，成等比数列公比q＞0，
（a1+a8）-（a4+a5）
=a1[（1+q7）-（q3+q4）]
=a1[（q3-1）（q4-1）]
当0＜q＜1，时
（q3-1）＜0，（q4-1）＜0
∴a1[（q3-1）（q4-1）]＞0
当q＞1，时
（q3-1）＞0，（q4-1）＞0
∴a1[（q3-1）（q4-1）]＞0
所以a1+a8＞a4+a5，
故若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，
若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，
故“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的充分非必要条件．
故选B