Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=2，公差d≠0，且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{b_n}的第一项、第二项、第三项．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）设数列{c_n}对任意的n∈N^*均有，求数列{c_n}的前n项和．

Answer

（I）根据等差数列的通项公式分别表示出第三项和第十一项，进而根据等差中项的性质建立等式求得d．进而根据等差数列的性质求得数列的通项公式．进而求得等差数列数列的第三项和第十一项，即数列{bn}的第一项、第二项、第三项，进而求得首项和公比，则数列的通项公式可得．
（II）把an和an+1相减求得，进而根据（1）中的bn求得n≥2时的cn，进而利用c1=b1×a2求得c1，进而综合可得数列{cn}的通项公式，利用等比数列的求和公式求得前n项的和．
【解析】
（I）由已知（2+2d）2=2（2+10d）
∴d=3或d=0（舍）
数列{an}的通项公式an=3n-1；
∴b2=a3=8，b3=a11=32
∴公比为=4，首项为2
∴数列{bn}的通项公式bn=2n，
（II）由，
=）
∴cn=3×22n-1（n≥2）
又c1=b1×a2=10
∴
所以数列{cn}的前n项和