Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（），又数列{a_n}满足a₁=，a_n+1=，设b_n=．
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）求f（a_n）的表达式；
（3）是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有b_n＜成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）用赋值法：先x=y=0推f（0）=0，再令x=0推f（-y）=-f（y），即可证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）先求出数列 {f（an）}的首项，再利用题中条件an+1=以及f（x）-f（y）=f（）求出f（an）与f（an+1）之间的递推关系，即可求 f（an）的表达式；
（3）先利用（2）的结论求出bn的表达式，再代入bn＜利用函数的单调性求出最值即可求出m的最小值．
【解析】
（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，再令x=0，得f（0）-f（y）=f（-y），
∴f（-y）=-f（y），y∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）
（2）∵，
∴，
即
∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f（an）=-2n-1．（7分）
（3）∵．
若恒成立（n∈N+），则．
∵n∈N+，∴当n=1时，有最大值4，故m＞4．
又∵m∈N，∴存在m=5，使得对任意n∈N+，有．（14分）