Question

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a=2，b=1，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）利用题中的关系求出鱼群的繁殖量，被捕捞量和死亡量就可得到xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）每年年初鱼群的总量保持不变就是xn恒等于x1，转化为xn+1-xn=0恒成立，再利用（Ⅰ）的结论，就可找到x1，a，b，c所满足的条件；
（Ⅲ）先利用（Ⅰ）的结论找到关于xn和b的不等式，再利用x1∈（0，2），求出b的取值范围以及b的最大允许值，最后在用数学归纳法进行证明即可．
【解析】
（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn2，
因此xn+1-xn=axn-bxn-cxn2，n∈N*．（*）
即xn+1=xn（a-b+1-cxn），n∈N*．（**）
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，
从而由（*）式得xn（a-b-cxn）恒等于0，n∈N*，
所以a-b-x1=0．即x1=．
因为x1＞0，所以a＞b．
猜测：当且仅当a＞b，且x1=．每年年初鱼群的总量保持不变．
（Ⅲ）若b的值使得xn＞0，n∈N*
由xn+1=xn（3-b-xn），n∈N*，知
0＜xn＜3-b，n∈N*，特别地，有0＜x1＜3-b．即0＜b＜3-x1．
而x1∈（0，2），所以b∈（0，1]．
由此猜测b的最大允许值是1．
下证当x1∈（0，2），b=1时，都有xn∈（0，2），n∈N*
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即xk∈（0，2），
则当n=k+1时，xk+1=xk（2-xk）＞0．
又因为xk+1=xk（2-xk）=-（xk-1）2+1≤1＜2，
所以xk+1∈（0，2），故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈（0，2）．
综上所述，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1．