Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁B₁C．

Answer

（Ⅰ）欲证MN||平面BCC1B1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCC1B1内一直线平行即可，而连接BC1，AC1．根据中位线定理可知MN||BC1，又MN⊄平面BCC1B1满足定理所需条件；
（Ⅱ）以B1为原点，A1B1为x轴，B1B为y轴，B1C1为z轴建立空间直角坐标系B1-xyz，求出平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z），而，根据法向量的意义可知MN⊥平面A1B1C．
证明：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1．
在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN||BC1．
又∵MN⊄平面BCC1B1，∴MN||平面BCC1B1．

（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1-xyz．
则B1（0，0，0），C（0，2，2），A1（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）
∴=（0，2，2），，．
设平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z）．
令z=1，则x=0，y=-1，∴n=（0，-1，1）．
∴．∴MN⊥平面A1B1C．