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已知f(x)=x3-6ax2+9a2x(a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调递...

已知f(x)=x3-6ax2+9a2x(a∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)当a>0时,若对∀x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围.
(1)先对函数f(x)进行求导,然后对a进行分析讨论求f'(x)<0的x的范围. (2)先根据导函数的解析式确定函数f(x)的单调性,然后根据a的不同范围进行讨论进而确定其答案. 【解析】 (Ⅰ)f′(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)<0 (1)当a=3a,即a=0时,f'(x)=3x2>0,不成立. (2)当a>3a,即a<0时,单调减区间为(3a,a). (3)当a<3a,即a>0时,单调减区间为(a,3a). (Ⅱ)f'(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a), f(x)在(0,a)上递增,在(a,3a)上递减,在(3a,+∞)上递增. (1)当a≥3时,函数f(x)在[0,3]上递增, 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(3), 若对∀x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立,需要有解得a∈φ. (2)当1≤a<3时,有a<3≤3a,此时函数f(x)在[0,a]上递增,在[a,3]上递减, 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a), 若对∀x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立,需要有解得a=1. (3)当a<1时,有3>3a,此时函数f(x)在[a,3a]上递减,在[3a,3]上递增, 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)或者是f(3). 由f(a)-f(3)=(a-3)2(4a-3), ①时,f(a)≤f(3), 若对∀x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立,需要有 解得. ②时,f(a)>f(3), 若对∀x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立,需要有解得. 综上所述,.
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考点分析:
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其中正确的命题为     .(写出所有正确命题的序号) 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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