Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
（1）用平面A₁BC₁截去一角后，求剩余部分的体积；
（2）求A₁B和B₁C所成的角．

Answer

（1）先求出截下部分体积，剩余部分体积=正方体的体积-截下部分体积，从而得出结果．
（2）连接D1C和D1B1，将A1B平移到D1C，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到A1B与B1C所成的角，再在等边三角形△D1CB1求之即可．
【解析】
（1）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，
∴△A1B1C1是棱锥B-A1B1C1的底，
BB1是棱锥的高，△A1B1C1的面积=，
截下部分体积=的面积=，正方体体积=a3，
剩余部分体积=a3-．
（2）连接D1C和D1B1，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥D1C，∴∠B1CD1即A1B与B1C所成的角，
∵正方体各面上对角线的长度相等，即D1B1=B1C=D1C，
∴△D1CB1是等边三角形
∴∠D1CB1=60°，
∴A1B与B1C成60的角．