Question

如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB=θ（a≥b，θ是锐角），作AB₁⊥OB，B₁A₁∥BA；再作A₁B₂⊥OB，B₂A₂∥BA；如此无限连续作下去，设△ABB₁，△A₁B₁B₂，…的面积为S₁，S₂，…求无穷数列S₁，S₂，…的和．

Answer

首先用a，b，θ表示出AB1和BB1进而表示出△B1AB，进而表示出，发现数列{Sn}为等比数列，公比为根据其小于1，推断此数列为递缩等比数列．进而通过数列{Sn}的前n项和的极限求得答案．
【解析】
AB1=bsinθ，BB1=a-bcosθ
（对一切n≥1成立，此时视AB为AB）
∵△ABB1∽△A1B1B2∽△A2B2B3∽，
=bsinθ（a-bcosθ），
∵△OAB1∽△OA1B1∽△OA2B2…
∴===，
∴，
即公比Q=．
∵θ是锐角，a≥b，
∴0＜＜1，
∴数列S1，S2，S3，是无穷递缩等比数列，