Question

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB、A₁B₁分别为圆O、圆O₁的直径且A₁A⊥平面PAB．
（1）求证：BP⊥A₁P；
（2）若圆柱OO₁的体积V=12π，OA=2，∠AOP=120°，求三棱锥A₁-APB的体积．

Answer

（1）根据AP⊥BP与AA1⊥BP两个条件证明BP⊥平面PAA1，即可证明BP⊥A1P．
（2）根据题意求出S△PAB然后求出棱柱的高，即可求出体积．
证明：（1）证明：易知AP⊥BP，
由AA1⊥平面PAB，
得AA1⊥BP，
且AP∩AA1=A，
所以BP⊥平面PAA1，
故BP⊥A1P．
【解析】
（2）由题意V=π•OA2•AA1=4π•AA1=12π，
解得AA1=3．
由OA=2，∠AOP=120°，得
∠BAP=30°，BP=2，AP=2，
∴S△PAB=×2×2=2，
∴三棱锥A1-APB的体积：
V=S△PAB•AA1=×2×3=2．