Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点．
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

Answer

（1）取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，要证明直线EE1∥平面FCC1，只需证明EE1∥F1C，就证明了EE1∥平面FCC1内的直线，即可推得结论；
（2）要证明平面D1AC⊥平面BB1C1C，只需证明AC⊥BC，AC⊥CC1，即可．
证明：（1）方法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，
由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1．
连接A1D，F1C，由于A1F1D1C1CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C．
又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1．
方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．

（2）连接AC，取F为AB的中点，在△FBC中，FC=BC=FB=2，
又F为AB的中点，所以AF=FC=FB=2，因此∠ACB=90°，即AC⊥BC．又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C．