Question

已知：x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-6x+5=0的两根，且，．n∈N^*．
（1）求y₁，y₂，y₃的值；
（2）设z_n=y_ny_n+1，求证：；
（3）求证：对∀n∈[2，+∞）有．

Answer

（1）先根据方程的根求出，再根据yn的表达式和xn+2关于xn+1表达式，分别取n=1、2、3即可求出；
（2）根据xn、yn各项为正的特征，求出z1=y1y2=26，再根据zn的表达式及不等式的性质可得zn＞26（n≥2），最后代入，命题得证；
（3）求出，再通过yn+1关于yn的表达式，证出，利用数列的递推特性进一步证出|yn+1-yn|≤，最后用绝对值不等式的性质将|y2n-yn|分解为不小于它本身的和：|yn+1-yn|+…+|y2n-1-y2n-2|+|y2n-y2n-1|的形式，得出等比数列求和表达式，再将所得结果适当放大，使命题得证．
【解析】
（1）解方程x2-6x+5=0 得x1=1，x2=5，---------------------------------------------1分
∴，------------------------------------------------------------------------------2分 ，
∴，--------------------------------------------------------------------------3分 ，
∴--------------------------------------------4分
（2）由 得 即⇒yn+1yn=5yn+1----------------------6分
当n≥2 时yn＞5，于是z1=y1y2=26，zn=ynyn+1=5yn+1＞26 （n≥2 ）
∴--------------------------------------------------------------------9分
（3）当n≥2 时，有 =----------------------------------------12分
∵|y2n-yn|=|y2n-y2n-1+y2n-1-y2n-2+y2n-2-…+yn+1-yn|
∴|y2n-yn|≤|yn+1-yn|+…+|y2n-1-y2n-2|+|y2n-y2n-1|=
∴对∀n∈N* 有 （n∈N*）----------------------------------------------14分