Question

设方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0．
（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆；
（2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程．

Answer

（1）方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0可变为：[x-（m+3）]2+[y+（1-4m2）]2=-7m2+6m+1，要得到方程为圆，
则要-7m2+6m+1大于0；如果-7m2+6m+1大于0得到方程为圆，所以得到m的范围即可．
（2）可设n=-7m2+6m+1，在（1）求出的m的范围中，利用二次函数求最值的方法求出半径的最大值即可．
【解析】
（1）由方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0
变形得：[x-（m+3）]2+[y+（1-4m2）]2=-7m2+6m+1，要使方程表示圆，
则需要-7m2+6m+1＞0；如果-7m2+6m+1＞0，则得到方程表示圆；
所以当且仅当-7m2+6m+1＞0即-＜m＜1时，该方程表示一个圆；
（2）在-＜m＜1时，设r2=-7m2+6m+1，为开口向下的抛物线，
当m=时，r2最大为．
所以圆的方程为+=．