Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=npa_n（n∈N^*）且a₁≠a₂，
（1）求常数p的值；
（2）证明：数列{a_n}是等差数列．

Answer

（1）由题设条件知若p=1时，a1=a2，与已知矛盾，故p≠1．则a1=0．n=2时，（2p-1）a2=0．所以p=．
（2）由题设条件知=．则=，=．由此可知{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列．
【解析】
（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，
∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1．则a1=0．
当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p-1）a2=0．
∵a1≠a2，故p=．
（2）由已知Sn=nan，a1=0．
n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1．
∴=．则=，=．
∴=n-1．∴an=（n-1）a2，an-an-1=a2．
故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列．