Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求a_n的表达式．

Answer

（1）本题关键是将an=Sn-Sn-1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可．
（2）先求出Sn，利用Sn求an，必须分类讨论an=，求解可得．
（1）证明：∵-an=2SnSn-1，
∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3）．
∴-=2．
又==2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．
（2）【解析】
由（1），=2+（n-1）•2=2n，∴Sn=．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-〔或n≥2时，an=-2SnSn-1=-〕；
当n=1时，S1=a1=．
∴an=