Question

设实数a≠0，函数f（x）=a（x²+1）-（2x+）有最小值-1．
（1）求a的值；
（2）设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），令b_n=，证明：数列{b_n}是等差数列．

Answer

由f（x）=a（x-）2+a-有最小值-1可得，f（）=a-=-1，且a＞0，解方程可求
（2）由Sn=n2-2n可求a1=S1=-1．
当n≥2时，利用递推公式an=Sn-Sn-1=可求an，代入计算a2+a4+…+a2n=n（2n-1）从而可得，bn==2n-1．
要证数列{bn}是等差数列⇔bn+1-bn=d即可
（1）【解析】
∵f（x）=a（x-）2+a-，由已知知f（）=a-=-1，且a＞0，解得a=1，a=-2（舍去）．
（2）证明：由（1）得f（x）=x2-2x，
∴Sn=n2-2n，a1=S1=-1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-2n-（n-1）2+2（n-1）=2n-3，a1满足上式即an=2n-3．
∵an+1-an=2（n+1）-3-2n+3=2，
∴数列{an}是首项为-1，公差为2的等差数列．
∴a2+a4+…+a2n=
==n（2n-1），
即bn==2n-1．
∴bn+1-bn=2（n+1）-1-2n+1=2．
又b2==1，
∴{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．