Question

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，n为正偶数，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列，又f（1）=n²，f（-1）=n．试比较f（）与3的大小．

Answer

由题设条件可知2a1+（n-1）d=2n．再由f（-1）=-a1+a2-a3+a4-a5+-an-1+an=n可解出a1=1．所以f（）=+3（）2+5（）3+7（）4+…+（2n-1）（）n，再用错位相减法求解即可．
【解析】
∵f（1）=a1+a2++an=n2．
依题设，有=n2，故a1+an=2n，
即2a1+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a1+a2-a3+a4-a5+-an-1+an=n，
∴•d=n，有d=2．进而有2a1+（n-1）2=2n，解出a1=1．
于是f（1）=1+3+5+7++（2n-1）．
f（x）=x+3x2+5x3+7x4++（2n-1）xn．
∴f（）=+3（）2+5（）3+7（）4++（2n-1）（）n．①
①两边同乘以，得f（）=（）2+3（）3+5（）4++（2n-3）（）n+（2n-1）（）n+1．②
①-②，得f（）=+2（）2+2（）3++2（）n-（2n-1）（）n+1，
即f（）=++（）2++（）n-1-（2n-1）（）n+1．
∴f（）=1+1++++-（2n-1）=1+-（2n-1）=1+2--（2n-1）＜3．
∴f（）＜3．