Question

利用导数求和：
（1）S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1（x≠0，n∈N*）；
（2）S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ（n∈N*）．

Answer

（1）当x=1时，Sn易求；当x≠1时，对x+x2+x3++xn=两边求导数可得答案．
（2）对（1+x）n=1+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn两边求导数后令x=1可得答案．
【解析】
（1）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=（n+1），
当x≠1时，∵x+x2+x3++xn=，
两边对x求导，得Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（）′=．
（2）∵（1+x）n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn，
两边对x求导，得n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1．
令x=1，得n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
即Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3++nCnn=n•2n-1．