Question

设a＞0，求函数f（x）=-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．

Answer

由题意函数f（x）=-ln（x+a），首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对a的大小进行分类讨论．
【解析】
由题意得，
令f′（x）=0，
即x2+（2a-4）x+a2=0，
（i）当a＞1时，
对所有x＞0，有x2+（2a-4）+a2＞0．
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，+∞）内单调递增；

（ii）当a=1时，
对x≠1，有x2+（2a-4）x+a2＞0，
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，1）内单调递增，且在（1，+∞）内也单调递增，
又知函数f（x）在x=1处连续，
因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；

（iii）当0＜a＜1时，
令f′（x）＞0，
即x2+（2a-4）x+a2＞0，
解得x＜2-a-2或x＞2-a+2，
因此，函数f（x）在区间，内也单调递增．
令f′（x）＜0，
即x2+（2a-4）x+a2＜0，
解得，
因此，函数f（x）在区间内单调递减．