Question

已知a＞0，n为正整数．
（Ⅰ）设y=（x-a）ⁿ，证明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）设f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，对任意n≥a，证明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．

Answer

（I）利用复合函数的求导法则，先求出外函数与内函数的导数，再求它们的乘积．
（II）先利用复合函数的求导法则求出函数的导函数，再求x用n+1代替求出导函数值，易比较出两者的大小．
【解析】
（I）证明：令x-a=t则y=tn
∴y′=ntn-1•t′
∵t′=1
∴y′=ntn-1
（II）f（n+1）（x）=xn+1-（x-a）n+1
∴f′n+1（x）=（n+1）xn-（n+1）（x-a）n
∴f′（n+1）（n+1）=（n+1）n+1-（n+1）（n+1-a）n=（n+1）（n+1）n-（n+1）（n+1-a）n
而（n+1）fn′（n）=（n+1）nn-（n+1）n（n-a）n-1
∵（n+1）（n+1）n＞（n+1）nn，
∴f′（n+1）（n+1）＞（n+1）fn′（n）．