Question

设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，c^-1c）处的切线l与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t）．
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值．

Answer

（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，对函数y=e-x（x≥0）在点M（t，c-1c）进行求导，然后根据电斜式求出切线方程；
（Ⅱ）根据三角形面积公式用t表示出S（t），然后由题意先对函数S进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，
把极值点代入已知函数，从而求解．
【解析】
（Ⅰ）因为f'（x）=（e-x）'=-e-x，
所以切线l的斜率为-e-1，
故切线l的方程为y-e-t=-e-t（x-t）．
即e-tx+y-e-1（t+1）=0
（Ⅱ）令y=0得x=t+1，
又令x=0得y=e-t（t+1）
所以S（t）=
=
从而
∵当t∈（0，1）时，S'（t）＞0，
当t∈（1，+∞）时，S'（t）＜0，
所以S（t）的最大值为S（1）=．