Question

给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．
证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行
于x轴；
（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．

Answer

（1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到；
（2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可．
【解析】
（1）设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，且
=，
∵a≠1，且x1≠x2，∴y2-y1≠0．
从而直线M1M2的斜率，因此，直线M1M2不平行于x轴．
（2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠，且y'=（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'-1）=x'-1，即x'（ay'-1）=y'-1，（2），即ax'-a=ax'-1，由此得a=1，与已知矛盾，∴
这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，
因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．