Question

已知f（x）=x²+ax+b（a，b∈R的定义域为[-1，1]．
（1）记（2）求出（1）中的的表达式．

Answer

（1）利用|f（x）|的最大值为M，绝对值不等式|a-b|+|a+b|≥|2a|推出．
（2）利用（1）的条件和结论对-b，1+a+b，1-a+b讨论，求出求出a、b的值，确定f（x）的表达式．
【解析】
（1）f（x）=x2+ax+b
M≥|f（0）|=|b|
M≥|f（1）|=|1+a+b|
M≥|f（-1）|=|1-a+b|
4M≥2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|≥|（-2b）+（1+a+b）+（1-a+b）|=2
M≥
[-b，1+a+b，1-a+b同号时取等号]
（2）I．若-b，1+a+b，1-a+b均≥0，M=，则：
1+a+b≤…①
1-a+b≤…②
-b≤…③
①+②：2+2b≤1，b≤-
③：b≥-
∴b=-
代回①：a≤0，②：a≥0
∴a=0
f（x）=x2-
II．若-b，1+a+b，1-a+b均＜0，M=，则：
0＞1+a+b≥-…①
0＞1-a+b≥-…②
0＞-b≥-…③
①+③：0＞1+a≥-1，-2≤a＜-1
②+③：0＞1-a≥-1，1＜a≤2
无解
综上：f（x）=x2-