Question

设有f（x）=4x⁴-4px³+4qx²+2p（m+1）x+（m+1）²．（p≠0）求证：
（1）如果f（x）的系数满足p²-4q-4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．
（2）如果f（x）与F（x）=（2x²+ax+b）²表示同一个多项式，那么p²-4q-4（m+1）=0．

Answer

（1）利用配方法和因式分解法的方法将该函数表达式进行因式分解．
（2）利用多项式相等建立各项系数的相等关系，将无关的系数消掉，建立起字母p，q，m的关系．
证明：（1）
∵，
∴
=
=
=
∴f（x）等于一个二次三项式的平方
（2）∵4x4-4px3+4qx2+2p（m+1）+（m+1）2=（2x2+ax+b）2
=4x4-4ax3+（a2+4b）x2+2abx+b2，
∴
由（1）可得a=-p代入（2）得
将a，b的表达式代入（3）得，
∴p[p2-4q-4（m+1）]=0．∵p≠0，∴p2-4q-4（m+1）=0．