Question

已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．
（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．
（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．
（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．

Answer

（1）由题意代入点斜式求直线方程，代入标准式求圆的方程和抛物线的方程；
（2）分别联立直线、圆和抛物线的方程，求出交点的横坐标，再通过图形表示出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式，注意范围；
（3）先作出图形再把图形进行分割，再由（2）求的点A、B的坐标求每一部分的面积，最后再求和．
【解析】
（1）由题意知，直线L的方程为y+=（x+），即y=x；
圆C的方程为x2+y2=1，抛物线Q的方程为
草图为：
（2）由，解得A点横坐标．
∴线段PA的函数表达式为：
由，解得B点横坐标．
∴圆弧AB的函数表达式为：
∴抛物线上OB一段的函数表达式为：．
（3）如下图所求的面积为图中阴影部分，
由（2）和题意知，P'点的横坐标为-和点P，
∴
∵A点横坐标，B点横坐标，∴∠AOB==，
∴扇形OAB的面积为
∴所求面积（图中阴影部分）．