Question

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a₁，a₂，…a_n，），B=（b₁，b₂，…b_n，）∈S_n，定义A与B的差为A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…|a_n-b_n|）；
A与B之间的距离为
（Ⅰ）证明：∀A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数
（Ⅲ）设P⊆S_n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为．
证明：≤．

Answer

（Ⅰ）因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合Sn的要求．
然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，
因此不影响他们原先的差．
（Ⅱ）先比较A和B有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后比较A和C有几个不同，
这两者重复的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同）去掉两次
（因为在前两次比较中各计算了一次），剩下的就是B和C的不同数目，
很容易得到这样的关系式：h=k+l-2i，从而三者不可能同为奇数．
（Ⅲ）首先理解P中会出现Cm2个距离，所以平均距离就是距离总和再除以Cm2，
而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，
第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位．然后思考，
第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，
等算出来，一切就水到渠成了．
此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范．
【解析】
（1）设A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn），C=（c1，c2，..，cn）∈Sn
因ai，bi∈0，1，故|ai-bi|∈0，1，（i=1，2，…，n）a1b1∈0，1，
即A-B=（|a1-b1|，|a2-b2|，…，|an-bn|）∈Sn
又ai，bi，ci∈（0，1），i=1，2，…，n
当ci=0时，有||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|；
当ci=1时，有||ai-ci|-|bi-ci||=|（1-ai）-（1-bi）=|ai-bi|
故
（2）设A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn），C=（c1，c2，..，cn）∈Sn
记d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h
记O=（0，0，…，0）∈Sn，由第一问可知：
d（A，B）=d（A-A，B-A），d=（O，B-A）=k
d（A，C）=d（A-A，C-A）=d（O，C-A）=l
d（B，C）=d（B-A，C-A）=h
即|bi-ai|中1的个数为k，|ci-ai|中1的个数为l，（i=1，2，…，n）
设t是使|bi-ai|=|ci-ai|=1成立的i的个数，则有h=k+l-2t，
由此可知，k，l，h不可能全为奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．
（3）显然P中会产生Cm2个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和．
分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了ti个1，那么自然有m-ti个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，（i=1，2，…，n），
那么n个位置的总和
即