Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），证明：{b_n}是等差数列；
（3）设c_n=（a_n+1-a_n）q^n-1（q≠0，n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）欲求a3，a5只需令m=2，n=1赋值即可．
（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到bn+1-bn，和等差数列的定义即可证明．
（3）由（1）（2）两问的结果可以求得cn，利用乘公比错位相减求{cn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2-a1+2=6
再令m=3，n=1，可得a5=2a3-a1+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得
a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2（n+1）+1-a2（n+1）-1]-（a2n+1-a2n-1）=8
即bn+1-bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{bn}是首项为b1=a3-a1=6，公差为8的等差数列
则bn=8n-2，即a2n+1-a2n-1=8n-2
另由已知（令m=1）可得
an=-（n-1）2．
那么an+1-an=-2n+1
=-2n+1=2n
于是cn=2nqn-1．
当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，Sn=2•q+4•q1+6•q2+…+2n•qn-1．
两边同乘以q，可得
qSn=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•qn．
上述两式相减得
（1-q）Sn=2（1+q+q2+…+qn-1）-2nqn
=2•-2nqn
=2•
所以Sn=2•
综上所述，Sn=．