Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k．
（Ⅰ）证明a₄，a₅，a₆成等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记，证明．

Answer

（I）由题设可知，a2=2，a3=4，a4=8，a5=12，a6=18．从而，由此可知a4，a5，a6成等比数列．
（II）由题设可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*．所以a2k+1-a1=（a2k+1-a2k-1）+（a2k-1-a2k-3）+（a3-a1）=2k（k+1），k∈N*．由此可以推出数列{an}的通项公式．
（III）由题设条件可知a2k+1=2k（k+1），a2k=2k2，然后分n为偶数和n为奇数两种情况进行讨论，能够证明．
（I）证明：由题设可知，a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，
a4=a3+4=8，
a5=a4+4=12，
a6=a5+6=18．
从而，
所以a4，a5，a6成等比数列；
（II）【解析】
由题设可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*．
所以a2k+1-a1=（a2k+1-a2k-1）+（a2k-1-a2k-3）+…+（a3-a1）
=4k+4（k-1）+…+4×1
=2k（k+1），k∈N*．
由a1=0，得a2k+1=2k（k+1），
从而a2k=a2k+1-2k=2k2．
所以数列{an}的通项公式为
或写为，n∈N*．
（III）证明：由（II）可知a2k+1=2k（k+1），a2k=2k2，
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N*）
若m=1，则，若m≥2，
则
=
=．
所以，
从而，；
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*）

=．
所以，从而，．
综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有．