Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N^*．a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为d_k．
（Ⅰ）若d_k=2k，证明a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列（k∈N^*）
（Ⅱ）若对任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列，其公比为q_k．

Answer

（Ⅰ）证明：由题设，可得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+1-2k=2k2，a2k+2=2（k+1）2．于是，由此可知当dk=2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列．
（Ⅱ）由题意可知，
因此，
再分情况讨论求解．
（Ⅰ）证明：由题设，可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*．
所以a2k+1-a1=（a2k+1-a2k-1）+（a2k-1-a2k-3）++（a3-a1）
=4k+4（k-1）++4×1
=2k（k+1）
由a1=0，得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+1-2k=2k2，a2k+2=2（k+1）2．
于是．
所以dk=2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列．
（Ⅱ）证明：a1=0，a2=2，可得a3=4，从而，=1．由（Ⅰ）有
所以
因此，
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N*（2））
若m=1，则．
若m≥2，则+
=
所以
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*）
=
所以，
从而
综合（1）（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有