Question

数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函数的极小值点．
（Ⅰ）当a=0时，求通项a_n；
（Ⅱ）是否存在a，使数列{a_n}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．由f'n（x）=x2-（3an+n2）x+3n2an=（x-3an）（x-n2）=0，得x1=3an，x2=n2．由函数的单调性知fn（x）在x=n2取得极小值．所以a2=12=1．因为3a2=3＜22，则，a3=22=4，因为3a3=12＞33，则a4=3a3=3×4，又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2．
（Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．要使3an＞n2，只需对一切n∈N*都成立．当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为．于是当a＞时，必有．由此能导出存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为．
【解析】
（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．
由题设知f'n（x）=x2-（3an+n2）x+3n2an=（x-3an）（x-n2）．
令f'n（x）=0，得x1=3an，x2=n2．
若3an＜n2，则
当x＜3an时，f'n（x）＞0，fn（x）单调递增；
当3an＜x＜n2时，f'n（x）＜0，fn（x）单调递减；
当x＞n2时，f'n（x）＞0，fn（x）单调递增．
故fn（x）在x=n2取得极小值．
所以a2=12=1
因为3a2=3＜22，则，a3=22=4
因为3a3=12＞33，则a4=3a3=3×4，
又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，
由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3．
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2．
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3ak＞k2成立，则由（2）知，ak+1=3ak＞k2，
从而3ak+1-（k+1）2＞3k2-（k+1）2=2k（k-2）+2k-1＞0，
所以3ak+1＞（k+1）2．
故当n≥3时，3an＞n2成立．
于是，当n≥3时，an+1=3an，而a3=4，因此an=4×3n-3．
综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n-3（n≥3）．

（Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列．
事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a•3n-3．
而要使3an＞n2，即a•3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需对一切n∈N*都成立．
记，则，．
令，则．
因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，
故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为．
于是当a＞时，必有．这说明，当时，数列an是等比数列．
当a=时，可得，而3a2=4=22，由（3）知，f2（x）无极值，不合题意，
当时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，…，数列{an}不是等比数列．
当时，3a=1=12，由（3）知，f1（x）无极值，不合题意．
当时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，，数列{an}不是等比数列．
综上所述，存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为．