Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（II）令，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n项和．

Answer

（I）求出f（x）的导函数即可得到a与b的值，然后把Pn（n，Sn）代入到f（x）中得到Sn=-n2+7n，利用an=Sn-Sn-1得到通项公式，令an=-2n+8≥0得到n的范围即可求出Sn的最大值；
（II）由题知，数列{bn}是首项为8，公比是的等比数列，表示出{nbn}的各项，利用错位相减法求出{nbn}的前n项和即可．
【解析】
（I）∵f（x）=ax2+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b
由f'（x）=-2x+7得：a=-1，b=7，所以f（x）=-x2+7x
又因为点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，所以有Sn=-n2+7n
当n=1时，a1=S1=6
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n+8，∴an=-2n+8（n∈N*）
令an=-2n+8≥0得n≤4，∴当n=3或n=4时，Sn取得最大值12
综上，an=-2n+8（n∈N*），当n=3或n=4时，Sn取得最大值12

（II）由题意得
所以，即数列{bn}是首项为8，公比是的等比数列，
故{nbn}的前n项和Tn=1×23+2×22++n×2-n+4①
②
所以①-②得：
∴