Question

已知函数f（x）=-x³-ax²+b²x+1（a、b∈R）．
（1）若a=1，b=1，求f（x）的极值和单调区间；
（2）已知x₁，x₂为f（x）的极值点，且|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|，若当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒小于m，求m的取值范围．

Answer

（1）把a=1，b=1代入函数f（x）=-x3-ax2+b2x+1，求导，分析导函数的符号，可得f（x）的单调性、极值；
（2）根据x1，x2为f（x）的极值点，得到x1，x2为方程-3x2-2ax+b2=0的两根，利用韦达定理得到x1+x2=-，x1x2=-，并把|f（x1）-f（x2）|=|x1-x2|代入化简得到|9+--b2|=，利用导数的几何意义得到k=f′（x）=-3x2-2ax+b2=-3x2-2ax+，要求函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒小于m，实际上是求k=f′（x）的最大值．
【解析】
（1）f（x）=-x3-x2+x+1，f′（x）=-3x2-2x+1=-（3x-1）（x+1）．

f（x）的极大值为，极小值为0．
f（x）的单调增区间为（-1，），单调减区间为（-∞，-1），（）．
（2）∵f（x）=-x3-ax2+b2x+1，
∴f′（x）=-3x2-2ax+b2，又x1，x2为f（x）的极值点，
∴x1，x2为方程-3x2-2ax+b2=0的两根，
x1+x2=-，x1x2=-，
∵|f（x1）-f（x2）|=|x1-x2|，
∴|-x13-ax12+b2x1+1+x23+ax23-b2x2-1|=|x1-x2|，
整理得|x12+x1x2+x22+a（x1+x2）-b2|=，
即|9+--b2|=，
∴a2+3b2=1，∴a2≤1．
∵k=f′（x）=-3x2-2ax+b2=-3x2-2ax+，
f′（x）max=f′=，
∴m＞．