Question

如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求面EAC与面DAC所成的二面角的大小．

Answer

（1）要证PA⊥平面ABCD，只需证明直线PA垂直平面ABCD内的两条相交直线AB、AD即可．
（2）作EG∥PA交AD于G，说明∠EHG是面EAC与面DAC所成二面角的平面角，解三角形求面EAC与面DAC所成的二面角的大小．
【解析】
（I）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°∴AB=AD=AC=a，
在△PAB中，PA2+AB2=2a2=PB2∴∠PAB=90°，即PA⊥AB，
同理，PA⊥AD∵AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD（6分）

（II）【解析】
作EG∥PA交AD于G
∵PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD∴EG⊥AC，
作GH⊥AC于H，连接EH，
∴AC⊥平面EHG，∴EH⊥AC，∴∠EHG是面EAC与面DAC所成二面角的平面角（9分）
∵PE：ED=2：1，∴
在△AGH中，，
∴，∴，
即面EAC与面DAC所成二面角的大小为（13分）