Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，前n项和
（I）求证：数列{a_n}是等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（I）知通项与前n项和的关系，通过仿写得到两个等式，作差据和与项的关系求出项的递推关系，据等差中项的方法得证．
（II）利用等差数列的通项公式求出通项．
（Ⅰ）：证明：∵
∴
整理，得nan+1=（n+1）an-1①
∴（n+1）an+2=（n+2）an+1-1②
②-①得：（n+1）an+2-nan+1=（n+2）an+1-（n+1）an
即（n+1）an+2-2（n+1）an+1+（n+1）an=0∴an+2-2an+1+an=0，
即an+2-an+1=an+1-an∴数列{an}是等差数列
（II）∵a1=3，nan+1=（n+1）an-1，
∴a2=2a1-1=5∴a2-a1=2，
即等差数列{an}的公差为2，
∴an=a1+2（n-1）=2n+1，（n∈N*）